Question

8．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點為F，上頂點為B，M 為線段BF 的中點，若∠MOF=30°，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 求出BF的中點M的坐標，利用∠MOF=30°，得到a，b關系，通過a，b，c的關系，求出橢圓的離心率．

解答 解：由題意可知M（$\frac{c}{2}，\frac{b}{2}$），∵∠MOF=30°，所以tan30°=$\frac{b}{c}$，∴c²=3b²．
又b²=a²-c²，所以4a²=3c²，所以橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的基本性質，橢圓的離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．