Question

18．在梯形PDCB中（如圖1），其中CD∥PB，DA⊥PB于點A（點A在P、B兩點之間），CD=2，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$．將△PAD沿直線AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD（如圖2），點M在棱PB上，且平面AMC把幾何體P-ABCD分成的兩部分體積比為V_PDCMA：V_MACB=5：4．
（1）確定點M在棱PB上的位置；
（2）判斷直線PD是否平行于平面AMC，并說明理由；
（3）若在平面PBD內存在這樣的一個點G，且滿足AG⊥平面PBD與MG∥平面ABCD同時成立，試問：符合題意的四棱錐P-ABCD是否存在？若存在，請求出此時PA的長度；若不存在，請給出你的理由．

Answer 1

分析 （1）在直角梯形ADCB中，由已知可求得AD=2，求出底面直角梯形ADCB及三角形ACB的面積，由已知可證得平面PAB⊥平面ADCB，過M作MN⊥AB，垂足為N，則MN⊥平面ADCB，分別求出四棱錐P-ADCB及三棱柱M-ACB的體積，作差可得多面體PDCMA的體積，結合V_PDCMA：V_MACB=5：4，得即MN：PA=2：3．可得M為PB的三分之一分點且靠近P點；
（2）設AC∩BD=O，由DC=2AB，得DO=2OB，又PM=2MB，連接MO，則MO∥PD，由線面平行的判定可得直線PD平行于平面AMC；
（3）由（1）知，AD、AB、AP兩兩互相垂直，以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，得到A，B，D，P，M的坐標，若在平面PBD內存在這樣的一個點G，滿足AG⊥平面PBD與MG∥平面ABCD同時成立，設G（x₀，y₀，z₀），則$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{BD}$，且$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，聯立即可解得λ值及P的豎坐標，可得符合題意的四棱錐P-ABCD存在，此時PA的長度為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

解答 解：（1）在直角梯形ADCB中，由CD=2，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$，可得AD=2，
則${S}_{ADCB}=\frac{1}{2}（2+4）×2=6$，${S}_{△ACB}=\frac{1}{2}×4×2=4$，
在棱錐P-ADCB中，
∵AD⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，∴PA⊥平面ADCB，則平面PAB⊥平面ADCB，
過M作MN⊥AB，垂足為N，則MN⊥平面ADCB，
V_P-ADCB=$\frac{1}{3}×6×PA$=2PA，V_M-ACB=$\frac{1}{3}×4×MN$，
V_PDCMA=2PA-$\frac{4}{3}MN$，
由V_PDCMA：V_MACB=5：4，得$\frac{2PA-\frac{4}{3}MN}{\frac{4}{3}MN}=\frac{5}{4}$，即MN：PA=2：3．
∴M為PB的三分之一分點且靠近P點；
（2）設AC∩BD=O，∵DC=2AB，∴DO=2OB，
又PM=2MB，連接MO，則MO∥PD，
∵MO?平面AMC，PD?平面AMC，
∴直線PD平行于平面AMC；
（3）由（1）知，AD、AB、AP兩兩互相垂直，
以A為坐標原點，分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，4，0），D（2，0，0），P（0，0，y），M（0，$\frac{4}{3}$，$\frac{2y}{3}$），
若在平面PBD內存在這樣的一個點G，滿足AG⊥平面PBD與MG∥平面ABCD同時成立，
設G（x₀，y₀，z₀），
則$\overrightarrow{MG}=λ\overrightarrow{BD}$，即（${x}_{0}，{y}_{0}-\frac{4}{3}，{z}_{0}-\frac{2y}{3}$）=λ（2，-4，0）=（2λ，-4λ，0），
解得：G（2λ，$\frac{4}{3}-4λ$，$\frac{2y}{3}$），
且$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{4λ-\frac{2}{3}{y}^{2}=0}\\{4（\frac{4}{3}-4λ）-\frac{2}{3}{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{4}{15}}\\{y=\frac{2\sqrt{10}}{5}}\end{array}\right.$．
∴符合題意的四棱錐P-ABCD存在，此時PA的長度為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查多面體體積的求法，訓練了利用空間向量求解立體幾何中的存在性問題，屬中檔題．