Question

20．已知數列{a_n}的前n項和${S_n}=\frac{{{n^2}+3n}}{4}$．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令${b_n}={4^{a_n}}-\frac{1}{{4{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用數列遞推關系即可得出．
（II）利用等比數列的求和公式、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=1；…（1分）
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{{{n^2}+3n}}{4}-\frac{{{{（{n-1}）}^2}+3（{n-1}）}}{4}=\frac{n+1}{2}$，…（2分）
因為a₁=1也適合上式，…（3分）
所以數列{a_n}的通項公式為${a_n}=\frac{n+1}{2}$． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a_n}=\frac{n+1}{2}$，
所以${b_n}={4^{\frac{n+1}{2}}}-\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}$=${2^{n+1}}-（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$． …（6分）
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（{{2^2}+{2^3}+…+{2^{n+1}}}）-[{（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{{{2^2}-{2^{n+1}}•2}}{1-2}-（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）$=${2^{n+2}}-4-\frac{n}{{2（{n+2}）}}$（或${2^{n+2}}-\frac{9n+16}{{2（{n+2}）}}$． …（12分）

點評 本題考查了“裂項求和法”、等比數列的通項公式及求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．