Question

11．函數y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3-x}$（0＜x＜3）的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 把函數解析式轉化成$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3-x}$）（x+3-x）分解后利用基本不等式的形式求得函數的最小值．

解答 解：∵0＜x＜3，
∴3-x＞0，
∴y=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3-x}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3-x}$）（x+3-x）=$\frac{1}{3}$（1+1+$\frac{3-x}{x}$+$\frac{x}{3-x}$）≥$\frac{1}{3}$（2+2$\sqrt{\frac{3-x}{x}•\frac{x}{3-x}}$）=$\frac{4}{3}$，
當且僅當x=$\frac{3}{2}$取等號，
故選：B

點評 本題主要考查了基本不等式的應用，屬于基礎題．