Question

16．已知函數f（x）=lnx-$\frac{ax-1}{x}$
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）證明：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）先證出$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），構造函數g（x）=lnx-（x-1），（x≥1），再證出ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，從而證出結論即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-a+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
又x＞0，∴由f′（x）＞0得：x＞1；∴由f′（x）＜0得：0＜x＜1，
故f（x）的增區間是：[1，+∞）；減區間是：（0，1]；
（2）證明：①由（1）可知：當a=1時，f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$是[1，+∞）上的增函數，
∴當x＞1時，f（x）＞f（1）⇒lnx-$\frac{x-1}{x}$＞0⇒lnx＞$\frac{x-1}{x}$，
又當n∈N^*時，$\frac{n+1}{n}$=1+$\frac{1}{n}$＞1，∴ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，
∴ln$\frac{2}{1}$＞$\frac{1}{2}$，ln$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{3}$，ln$\frac{4}{3}$＞$\frac{1}{4}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$，
將以上n個式子兩邊分別相加得：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1），
②構造函數g（x）=lnx-（x-1），（x≥1），
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∵x≥1，∴g′（x）≤0，則函數g（x）在[1，+∞）上遞減．
∴當x＞1時，g（x）＜g（1）⇒lnx-（x-1）＜0⇒lnx＜x-1，
又當n∈N^*時，$\frac{n+1}{n}$=1+$\frac{1}{n}$＞1，∴ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$，
∴ln$\frac{2}{1}$＜1，ln$\frac{3}{2}$＜$\frac{1}{2}$，ln$\frac{4}{3}$＜$\frac{1}{3}$，…，ln$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$，
將以上n個式子兩邊分別相加得：
ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
綜合①②得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$＜ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．