Question

已知函數f（x）=lnx+

1-x

a(1+x)

，其中a為不為零的常數．
（Ⅰ）若f（x）在點（1，0）處的切線過點（2，-1），求實數a的值；
（Ⅱ）當a=1時，若存在x₁，x₂∈[1，e²]使得f（x₁）-f（x₂）≥M成立，求滿足條件的最大整數M；
（Ⅲ）若f（x）無極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程即可求實數a的值；
（Ⅱ）求出函數的單調性，求出在[1，e²]使得[f（x₁）-f（x₂）]的最大值即可求滿足條件的最大整數M；
（Ⅲ）根據函數極值和導數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）函數的導數為f′（x）=

1

x

-

2

a(1+x)2

，
則f′（1）=1-

1

2a

，f（1）=0，
則f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=（1-

1

2a

）（x-1），
∵切線過點（2，-1），
∴1-

1

2a

=-1，解得a=

1

4

；
（Ⅱ）當a=1時，則f（x）=lnx+

1-x

1+x

=lnx+

2-(1+x)

1+x

=lnx+

2

1+x

-2，
函數的f（x）的導數f′（x）=

1

x

-

2

(1+x)2

=

(1+x)2-2x

x(1+x)2

=

1+x2

x(1+x)2

，
當x∈[1，e²]時，f′（x）＞0，即函數f（x）在[1，e²]為增函數，
若存在x₁，x₂∈[1，e²]使得f（x₁）-f（x₂）≥M成立，
則[f（x₁）-f（x₂）]_max=f（e²）-f（1）=（2+

2

1+e2

-2）-0=

2

1+e2

，
則M≤

2

1+e2

，即滿足條件的最大整數M=

2

1+e2

；
（Ⅲ）函數的定義域為（0，+∞），
函數的f′（x）=

1

x

-

2

a(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

ax(1+x)2

=

ax2+(2a-2)x+a

ax(1+x)2

，
設g（x）=ax²+（2a-2）x+a，
①當判別式△=（2a-2）²-4a²=8a-4≤0，即a≤

1

2

且a≠0時，函數為單調函數，滿足條件．
②若a＞0，

△=8a-4＞0 - 2a-2 2a ＜0

，即

a＞0 a＞ 1 2 a＞1

，解得a＞1時，方程g（x）=0有兩個不相等的負實根，則函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，此時無極值點．
綜上a＞1或a≤

1

2

且a≠0．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、二次函數的單調性、一元二次方程實數解與判別式的關系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．