Question

已知函數f（x）=

2x-a2

a•2x

，x∈R，其中a≠0．
（1）證明：當a＞0時，函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數；
（2）設函數h（x）=f（x）-2^x，若函數h（x）只有一個零點，求實數a的取值范圍，并求出零點（可用a表示）．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）化簡函數f（x）=

2x-a2

a•2x

=

1

a

-

a

2x

，從而由復合函數的單調性證明；
（2）化簡函數h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x，從而分a＜0與a＞0求只有一個零點時a的取值，進而求出零點．

解答： 解：（1）證明：函數f（x）=

2x-a2

a•2x

=

1

a

-

a

2x

，
∵a＞0，∴y=

a

2x

是R上的減函數，
∴y=-

a

2x

是R上的增函數，
∴函數f（x）=

1

a

-

a

2x

在（-∞，+∞）上為增函數；
（2）函數h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x，
當a＜0時，易知函數h（x）為減函數，
且當x→+∞時，h（x）→-∞，
當x→-∞時，h（x）→+∞；
故函數h（x）只有一個零點，
令

1

a

-

a

2x

-2^x=0解得，
x=log₂

1+ 1-4a3

-2a

；
當a＞0時，
h（x）=f（x）-2^x=

1

a

-

a

2x

-2^x=

1

a

-（

a

2x

+2^x）；
由

a

2x

+2^x≥2

a

知，
當

1

a

-2

a

=0，即a=

3 2

2

時，函數h（x）只有一個零點；
故此時x=-

1

3

；
故實數a的取值范圍為（-∞，0）∪{

3 2

2

}．

點評：本題考查了導數的綜合應用及復合函數的單調性的應用，同時考查了零點與方程的根的關系，屬于中檔題．