Question

2．已知圓E：x²+y²-2x=0，若A為直線l：x+y+m=0上的點，過點A可作兩條直線與圓E分別切于點B，C，且△ABC為正三角形，則實數(shù)m的取值范圍是[-2$\sqrt{2}-1$，2$\sqrt{2}-1$]．

Answer 1

分析 由△ABC為正三角形，可得直線上的點與圓心的連線與切線的夾角為30°，求出直線與圓心連線的距離的最大值，轉化求解即可．

解答 解：圓E：x²+y²-2x=0，圓心（1，0），半徑為1，若A為直線l：x+y+m=0上的點，過點A可作兩條直線與圓E分別切于點B，C，且△ABC為正三角形，可得圓心到直線的距離的最大值為：2，此時直線上的點與圓心的連線與切線的夾角為30°，否則不滿足題意．
可得：$\frac{|1+m|}{\sqrt{2}}≤2$，
解得m∈[-2$\sqrt{2}-1$，2$\sqrt{2}-1$]．
故答案為：[-2$\sqrt{2}-1$，2$\sqrt{2}-1$]．

點評 本題考查直線與圓的方程的應用，切線方程的關系，考查轉化思想以及計算能力．