Question

17．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為$ρ=\sqrt{3}sinθ+cosθ$，曲線C₃的極坐標方程為$θ=\frac{π}{6}$．
（1）把曲線C₁的參數方程化為極坐標方程；
（2）曲線C₃與曲線C₁交于O，A，與曲線C₂交于O，B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程消去參數θ得曲線C₁的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₁的極坐標方程．
（2）設點A的極坐標為（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），點B的極坐標為（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$），則${ρ}_{1}=4cos\frac{π}{6}=2\sqrt{3}$，${ρ}_{2}=\sqrt{3}sin\frac{π}{6}+cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，由此能求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），
∴消去參數θ得曲線C₁的普通方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲線C₁的極坐標方程為ρ²=4cosθ．
（2）設點A的極坐標為（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），點B的極坐標為（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$），
則${ρ}_{1}=4cos\frac{π}{6}=2\sqrt{3}$，${ρ}_{2}=\sqrt{3}sin\frac{π}{6}+cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．