Question

8．已知f′（x）為函數f（x）的導函數，且$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-f（0）+f'（1）{e^{x-1}}$，若$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}{x^2}+x$，則方程$g（\frac{x^2}{a}-x）-x=0$有且僅有一個根時，a的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （0，1]
• D． （-∞，0）∪{1}

Answer 1

分析 求導，令x=1，即可求得f（0），當x=0，代入f（x），即可求得f′（1），求得f（x）的解析式，由題意可知：由函數y₁=$\frac{{x}^{2}}{a}$與函數y₂=x+lnx圖象可得，方程有且只有一個根時，則a的取值范圍是a＜0或a=1．

解答 解：由$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-f（0）+f'（1）{e^{x-1}}$，求導f′（x）=x-f（0）+f′（1）e^x-1，
故f′（1）=x-f（0）+f′（1），則f（0）=1，
由f（0）=f′（1）e^-1=1，則f′（1）=e，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x，f′（x）=x-1+e^x，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+e^x-$\frac{1}{2}$x²+x=e^x，故方程$g（\frac{x^2}{a}-x）-x=0$，${e}^{\frac{{x}^{2}}{a}-x}$=x，
兩邊取對數可得$\frac{{x}^{2}}{a}$=x+lnx，由函數y₁=$\frac{{x}^{2}}{a}$與函數y₂=x+lnx圖象可得，方程有且只有一個根時，則a的取值范圍是a＜0或a=1，
當a＞1a時無交點，0＜a＜1時有兩個交點．
故a的取值范圍（-∞，0）∪{1}，
故選D．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查函數根的個數的判斷，考查數形結合思想，屬于中檔題．