Question

13．已知點P在函數f（x）=xe^x的圖象上．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（II）求函數y=f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得切點坐標和函數的導數，可得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程；
（II）求導，根據導數與函數單調性及極值的關系，即可求得函數y=f（x）的單調區間和極值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xe^x，f（1）=e，求導f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
∴f′（1）=2e，
∴點P（1，f（1））處的切線方程y-f（1）=f′（1）（x-1），即y-e=2e（x-1），
整理得：y=2ex-e，
曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程y=2ex-e；
（II）∵函數f（x）=xe^x的定義域為R，
f'（x）=（xe^x）′=x′e^x+x（e^x）′=e^x+xe^x，
令f'（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
則x，f′（x），f（x）的變化：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

∴可知函數f（x）=xe^x的單調遞減區間為（-∞，-1），單調遞增區間為（-1，+∞）．
當x=-1時，函數f（x）=xe^x的極小值為f（-1）=-$-\frac{1}{e}$，無極大值．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，利用導數求函數的單調性及極值，考查轉化思想，屬于中檔題．