Question

3．若函數f（x）=alog₂（|x|+4）+x²+a²-8有唯一的零點，則實數a的值是（　　）

• A． -4
• B． 2
• C． ±2
• D． -4或2

Answer 1

分析 根據f（x）是偶函數可知唯一零點比為0，從而得出a，再利用函數圖象驗證即可．

解答 解：顯然f（x）是偶函數，
∵f（x）有唯一一個零點，∴f（0）=0，即a²+2a-8=0，
解得a=2或a=-4．
當a=2時，f（x）=2alog₂（|x|+4）+x²-4，
∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，符合題意；
當a=-4時，f（x）=-4log₂（|x|+4）+x²+8，
作出y=4log₂（|x|+4）和y=x²+8的函數圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）有三個零點，不符合題意；
綜上，a=2．
故選B．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．