Question

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，過右焦點且垂直于長軸的直線與橢圓C交于P，Q兩點，且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）A，B是橢圓C上的兩個不同點，若直線，的斜率之積為（以O為坐標原點），M是的中點，連接并延長交橢圓C于點N，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將代入橢圓方程，可得，再由，結合，解出，得到橢圓方程.
（2）設，，，,則得到，由在橢圓上，將坐標代入橢圓方程，得到關于的方程，從而解出的值，得到答案.

（1）聯立，解得，故，又，

，聯立三式，解得，，.

故橢圓C的方程為.

（2）設，，，，

∵M是的中點，，，.

又，，即，

∵點在橢圓C上，，

即.（*）

∵，在橢圓C上，，①②

又直線，斜率之積為，，即，③

將①②③代入（*）得，解得

所以