Question

【題目】已知數列，若對任意，都有成立，則稱數列為“差增數列”．

（1）試判斷數列是否為“差增數列”，并說明理由；

（2）若數列為“差增數列”，且，，對于給定的正整數m，當，項數k的最大值為20時，求m的所有可能取值的集合；

（3）若數列為“差增數列”，，且，證明:．

Answer 1

【答案】（1）是；見解析（2）；（3）見解析

【解析】

（1）數列是“差增數列”.由新定義可知，只要證明＞an+1即可；
（2）由新定義可得對任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an恒成立，可令bn＝an+1﹣an（n≥1），運用累加法，結合等差數列的求和公式可得an，由于1≤n≤19，結合條件可得m的取值集合；
（3）運用反證法證明，假設x1010x1011≥1，由題意可得x1x2…x2020＝1，＜，運用不等式的性質推得x1009x1012＞1，即可得到矛盾，進而得證.

解：（1）數列是“差增數列”.

因為任意的n∈N*，都有an+an+2＝n2+（n+2）2＝2n2+4n+4＝2（n+1）2+2＞2（n+1）2＝2an+1，

即＞an+1成立，

所以數列是“差增數列”；

（2）由已知，對任意的n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an恒成立.

可令bn＝an+1﹣an（n≥1），則bn∈N，且bn＜bn+1，

又an＝m，要使項數k達到最大，且最大值為20時，必須bn（1≤n≤18）最小.

而b1＝0，故b2＝1，b3＝2，…，bn＝n﹣1.

所以an﹣a1＝b1+b2+…+bn﹣1＝0+1+2+…+（n﹣2）＝（n﹣1）（n﹣2），

即當1≤n≤19時，an＝1+，a19＝154，因為k的最大值為20，

所以18≤a20﹣a19＜18+19，即18≤m﹣154＜18+19，

所以m的所有可能取值的集合為{m|172≤m＜191，m∈N*}.

（3）證明：（反證法）假設x1010x1011≥1.由已知可得xn（n＝1，2，…，2020）均為正數，且x1x2…x2020＝1，＜.

而由＜可得＜＜，

即x1010x1011＜x1009x1012，所以x1009x1012＞1.

又＝＜＝，即x1008x1013＞1，

同理可證x1007x1014＞1，…，x1x2020＞1，

因此x1x2…x2020＞1，這與已知矛盾，

所以x1010x1011＜1.