Question

【題目】如圖，已知拋物線：，過直線上一點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)、作直線交軸于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，，中點(diǎn)，直線的斜率為，利用點(diǎn)差法得，寫出直線的方程可得的坐標(biāo)；

（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式得，利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而表示出的面積，利用基本不等式確定三角形面積的最大值．

設(shè)點(diǎn)，，中點(diǎn)，

直線的斜率為，（斜率顯然存在且不為0）．

由可得，

所以，故，

（1）直線：，即，解得點(diǎn)．

（2）因?yàn)橹本�經(jīng)過點(diǎn)，直線的斜率為，

所以可得直線的方程是：，

由聯(lián)立可得，

所以，

所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，

所以的面積為：

當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值．