Question

19．已知函數$f（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}+bx+1}}$，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=0，且當x≥1時，f（x）≥1總成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a=b=1，函數f（x）的導函數，利用導函數的符號，判斷函數的單調性，求解函數的單調區間；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥1總成立，轉化為bx+1＞0在x≥1恒成立，推出b≥0，即證明$b≤\frac{{{e^x}-1}}{x}$在x≥1時恒成立，設$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，求出導函數，函數的最值即可推出結果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+x+1}}，f'（x）=\frac{{{e^x}x（x-1）}}{{{{（{x^2}+x+1）}^2}}}$，
f'（x）＞0⇒x＜0或x＞1；f'（x）＜0⇒0＜x＜1
函數f（x）在（-∞，0），（1，+∞）單調遞增，在（0，1）單調遞減．
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥1總成立，
即當x≥1時$\frac{e^x}{bx+1}≥1$恒成立，
因為e^x＞0，所以bx+1＞0在x≥1恒成立，所以b≥0
所以只需x≥1時e^x≥bx+1恒成立，需$b≤\frac{{{e^x}-1}}{x}$在x≥1時恒成立，
設$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，則$g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）+1}}{x^2}$，x≥1時，$g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）+1}}{x^2}＞0$，
所以$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$在[1，+∞）單調遞增，x≥1時，g（x）≥g（1）=e-1，所以b≤e-1，
綜上0≤b≤e-1．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及構造法的應用，開心分析問題解決問題的能力．