Question

8．對于定義域為I的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆I，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數y=f（x）的“好區間”．
（1）設g（x）=log_a（a^x-2a）+log_a（a^x-3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定義域并判斷其單調性；
（2）試判斷（1）中的g（x）是否存在“好區間”，并說明理由；
（3）已知函數P（x）=$\frac{（{t}^{2}+t）x-1}{{t}^{2}x}$（t∈R，t≠0）有“好區間”[m，n]，當t變化時，求n-m 的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據對數的真數大于0，在討論底數a與1的大小可得定義域．定義證明單調性．
（2）根據定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關系求解a的值即可判斷．
（3）根據定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關系，轉化為二次函數的問題配方求解最值．

解答 解：（1）由題意：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-2a＞0}\\{{a}^{x}-3a＞0}\end{array}\right.$，解得：a^x＞3a，
①當a＞1時，x＞log₃（3a），函數此時定義域D=（log₃（3a），+∞）．
設x₁＜x₂，x₁，x₂∈D，
∵${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}$，∴0＜${a}^{{x}_{1}}-2a＜{a}^{{x}_{2}}-2a$，0＜${a}^{{x}_{1}}-3a＜{a}^{{x}_{2}}-3a$，
∴$lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-2a）＜lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-2a）$，$lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-3a）＜lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-3a）$，
∴g（x₂）＞g（x₁）
故得函數g（x）在定義域D=（log₃（3a），+∞）內是增函數．
②當0＜a＜1時，x＜log₃（3a），函數此時定義域D=（-∞，log₃（3a））．
同理可證g（x）在定義域D=（-∞，log₃（3a））內是增函數．
（2）假設g（x）存在“好區間”，由（1）可知?m，n∈D（m＜n，
由新定義有：$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=m}\\{g（n）=n}\end{array}\right.$?關于x的方程在定義域D內有兩個不等的實數根．
即（a^x-2a）（a^x-3a）=a^x在定義域D內有兩個不等的實數根．（*）
設t=a^x，則（*）?（t-2a）（t-3a）=t，即t²-（5a+1）t+6a²=0在（3a，+∞）內有兩個不等的實數根，
令t²-（5a+1）t+6a²=P（t），
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0，且a≠1}\\{△=（5a+1）^{2}-24{a}^{2}＞0}\\{\frac{5a+1}{2}＞3a}\\{p（3a）＞0}\end{array}\right.$，解得：a無解．
所以函數g（x）不存在“好區間”．
（3）由題設，函數P（x）=$\frac{（{t}^{2}+t）x-1}{{t}^{2}x}$=$\frac{t+1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}x}$（t∈R，t≠0）有“好區間”[m，n]，其定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
根據反比例的性質，函數P（x）=$\frac{t+1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}x}$在[n，m]上單調遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{p（m）=m}\\{p（n）=n}\end{array}\right.$，所以m，n是方程p（x）=x實數根．
即方程t²x²-（t²+t）x+1=0有同號的相異實數根．
∵mn=$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，mn同號，
∴△=（t²+t）-4t²＞0或t＜-3，解得：t＞1或t＜-3．
m-n=$\sqrt{（n+m）^{2-4mn}}=\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
當t=3，n-m得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了新定義的理解和運用，二次函數的性質及運用化簡計算能力和知識點的延升綜合運用．屬于難題．