Question

15．已知A為橢圓x²+2y²=4的長軸左端點，以A為直角頂點做一個內接于橢圓的等腰直角三角形ABC，則斜邊BC的長為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{12}{3}$
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓的標準方程求得A點坐標，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，求得橢圓交點坐標B，根據兩點之間的距離公式求得丨AB丨，由丨BC丨=$\sqrt{2}$丨AB丨，即可求得斜邊BC的長．

解答 解：橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，則A（-2，0），
A是直角頂點，
∴兩直角邊斜率是1和-1，
∴直線AB的方程：y=x+2
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+8x+4=0，
解得：x=-$\frac{2}{3}$或x=-2（舍去），
∴y=-$\frac{2}{3}$+2=$\frac{4}{3}$，
∴橢圓交點B（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
丨AB丨=$\sqrt{（-2+\frac{2}{3}）^{2}+（0-\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
丨BC丨=$\sqrt{2}$丨AB丨=$\frac{8}{3}$，
斜邊BC的長$\frac{8}{3}$．
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．