Question

5．△ABC中，A=60°，AB=3，AC=2，D是AC邊的中點，點E在AB邊上，且AE=$\frac{1}{2}$EB，BD與CE交于點M，N是BC的中點，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{AM}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，利用向量共線的性質可求$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，而根據題意可得$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，然后進行數量積的運算便可求出$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的值．

解答 解：設$\overrightarrow{AM}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∵B，M，D三點共線，E，M，C三點共線，
∴$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{AM}$=μ$\overrightarrow{AE}$+（1-μ）$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}μ$$\overrightarrow{AB}$+（1-μ）$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{3}μ}\\{\frac{1}{2}（1-λ）=1-μ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{5}}\\{μ=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$）（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{3}{10}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{1}{10}$|$\overrightarrow{AB}$|²
=$\frac{3}{10}×3×2×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}×4$+$\frac{1}{10}×9$
=$\frac{13}{5}$．
故答案為：$\frac{13}{5}$．

點評 本題以三角形為載體，考查向量的數量積運算，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．