Question

20．已知定義在（-1，1）上的奇函數f （x），其導函數為f′（x）=l+cosx，如果f（1-a）+f（l-a²）＜0，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （-2，-$\sqrt{2}$）
• D． （1，$\sqrt{2}$）∪（-$\sqrt{2}$，-1）

Answer 1

分析 由導數判斷f（x）在（-1，1）遞增，再由f（-x）=-f（x），不等式f（1-a）+f（l-a²）＜0化為$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{1-a＜{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，求解不等式組得答案．

解答 解：f（x）的導函數為f′（x）=l+cosx，
則f′（x）＞0在（-1，1）恒成立，即有f（x）在（-1，1）遞增，
又f（x）為奇函數，即有f（-x）=-f（x），
則f（1-a）+f（l-a²）＜0即為f（1-a）＜-f（l-a²）=f（a²-1），
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\\{1-a＜{a}^{2}-1}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{-\sqrt{2}＜a＜\sqrt{2}且a≠0}\\{a＞1或a＜-2}\end{array}\right.$，
解得，1＜a＜$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查函數的單調性和奇偶性的判斷和運用，考查利用導數研究函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．