Question

3．已知f（x）的導函數為f′（x），當x＞0時，2f（x）＞xf′（x），且f（1）=1，若存在x∈R⁺，使f（x）=x²，則x的值為1．

Answer 1

分析 根據題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用導數得到，g（x）在（0，+∞）是減函數，根據f（1）=1，即可求出f（x）=x²的解

解答 解：根據題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵當x＞0時，2f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減
∵f（1）=1，
∴g（1）=$\frac{f（1）}{{1}^{2}}$=1，
∵f（x）=x²，
∴g（x）=1=g（1），
∴x=1
故答案為：1

點評 本題考查導數與函數單調性的關系，關鍵是構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，想到通過構造函數解決．