Question

（本小題滿分12分）正方體的棱長為，是與的交點，是上一點，且．
（1）求證：平面； （2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）略
（2）
（3）

解：（Ⅰ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則，，，，
∴，，．
，

又與交于點
，
∴平面．……………………4分
（Ⅱ）設與所成的角為．
，，．
∴，
．
∴．
所求異面直線與所成角的余弦值為．…………………………8分
（Ⅲ）設平面與直線所成的角為．
設平面的法向量為．
， ，，，．

令，則
．
．