Question

17．已知函數f（x）=cos2x的圖象向左平移$φ（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$個單位后得到函數g（x）的圖象，若使|f（x₁）-g（x₂）|=2成立x₁，x₂的滿足${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{6}$，則φ的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 根據三角函數的圖象變換關系求出g（x），結合|f（x₁）-g（x₂）|=2成立x₁，x₂的滿足${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{6}$，建立方程關系進行求解即可．

解答 解：函數f（x）=cos2x的圖象向左平移$φ（{0＜φ＜\frac{π}{2}}）$個單位后得到函數g（x）的圖象，
則g（x）=cos2（x+φ）=cos（2x+2φ），
由|f（x₁）-g（x₂）|=2，得|cos2x₁-cos（2x₂+2φ）|=2，
則必有cos2x₁=1且cos（2x₂+2φ）=-1，或cos2x₁=-1，cos（2x₂+2φ）=1，
根據對稱性不妨設cos2x₁=1且cos（2x₂+2φ）=-1，
則2x₁=2k₁π，2x₂+2φ=2k₂π+π，
即x₁=k₁π，x₂=$\frac{π}{2}$-φ+k₂π，
則x₁-x₂=（k₁-k₂）π+φ-$\frac{π}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，${|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{6}$，
∴|x₁-x₂|=|（k₁-k₂）π+φ-$\frac{π}{2}$|=|（k₂-k₁）π+$\frac{π}{2}$-φ|，
則當k₁=k₂時，$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{6}$，即φ=$\frac{π}{3}$，
故選：C．

點評 本題主要考查三角函數圖象和性質的應用，根據條件求出g（x）的解析式，結合三角函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．