Question

【題目】已知函數

（1）若對任意的 恒成立，求實數的最小值.

（2）若 且關于的方程 在 上恰有兩個不相等的實數根，求實數 的取值范圍；

（3）設各項為正的數列 滿足： 求證：

Answer 1

【答案】（1） ； （2） ； （3）

【解析】試題分析：（I）依題意，對任意的， 恒成立，即在恒成立，則，而，所以在是減函數， 最大值為1，所以， ，實數的最小值。

（II）因為，且在上恰有兩個不相等的實數根，即在上恰有兩個不相等的實數根，

設，則

列表：

X	(0, )		(,2)	2	(2,4)
	+	0	-	0	+
	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

所以極大值， 極大值， ， ，因為方程在上恰有兩個不相等的實數根．

則，解得．

（III）設， ，則，∴在為減函數，且，故當時有，∵，假設（），則，故（），從而，∴，即，∴