Question

【題目】已知函數，其中.

（I）判斷并證明函數的奇偶性；

（II）判斷并證明函數在上的單調性；

（III）是否存在這樣的負實數，使對一切恒成立，若存在，試求出取值的集合；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】分析：（I）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可．
（II）根據函數單調性 定義進行判斷．
（III）根據函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化，利用參數分離法進行求解即可．

詳解：

（I）∵，

∴是奇函數.

（II）在上為減函數.

證明：任取且，

則

，

∵ ，

∴，

得，得到，

∴在上為減函數；

（III）∵ ，

∵在上為減函數，

∴對恒成立

由對恒成立得：

對恒成立，

令，

∵，∴，

∴，得，

由對恒成立得：

，由對恒成立得：，

即綜上所得：，

所以存在這樣的，其范圍為.