Question

10．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，一條直線l經過點F₁與橢圓交于A，B兩點．
（1）求△ABF₂的周長；
（2）若l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可知：△ABF₂的周長=丨AB丨+丨AF₂丨+丨BF₂丨=4a=8，則△ABF₂的周長8；
（2）由（1）可知：直線AB的方程為y=x+1，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式即可求得弦長|AB|．

解答 解 （1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
由橢圓的定義，得丨AF₁丨+丨AF₂丨=2a=4，丨BF₁丨+丨BF₂丨=2a=4，
又丨AF₁丨+丨BF₁丨=丨AB丨，
∴△ABF₂的周長=丨AB丨+丨AF₂丨+丨BF₂丨=4a=8．
∴故△ABF₂點周長為8；
（2）由（1）可知，得F₁（-1，0），
∵AB的傾斜角為$\frac{π}{4}$，則AB斜率為1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故直線AB的方程為y=x+1.$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7y²-6y-9=0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{6}{7}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{7}$，
則由弦長公式丨AB丨=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（\frac{6}{7}）^{2}-4×（-\frac{9}{7}）}$=$\frac{24}{7}$，
弦長|AB|=$\frac{24}{7}$．

點評 本題考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于基礎題．