Question

18．一束光線l自A（-3，3）發出，射到x軸上的點M后，被x軸反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射線通過圓心C時，光線l的方程；
（2）求滿足條件的入射點M的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用物理的光學知識可知入射光線上的任意一點關于x軸對稱的點必在其反射線上，由于反射線過圓心，有光線的可逆性知，反射線上的任意點圓心關于x軸對稱的點也必在入射光線上，然后由入射光線上已知兩點寫出所求的直線方程；
（2）由題意和（1）可知反射線必過定點A′（次點是點A關于x軸對稱的點），利用幾何知識知當反射線與已知圓相切時恰好為范圍的臨界狀態．

解答 解：⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1
（1）C關于x軸的對稱點C′（2，-2），過A，C′的方程：x+y=0為光線l的方程．
（2）A關于x軸的對稱點A′（-3，-3），設過A′的直線為y+3=k（x+3），當該直線與⊙C相切時，
有$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$．
∴過A′，⊙C的兩條切線為y+3=$\frac{4}{3}$（x+3），y+3=$\frac{3}{4}$（x+3），
令y=0，得x=-$\frac{3}{4}$或x=1
∴反射點M在x軸上的活動范圍是[-$\frac{3}{4}$，1]．

點評 本題考查已知直線上的兩點求解直線的方程；考查點關于線對稱點的求法，考查解決問題是抓住臨界狀態這一特殊位置求解的思想．