Question

1．設點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，f（x₂））分別是函數f（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³和g（x）=x-1圖象上的點，且x₁≥0，x₂≥0，若直線MN∥x軸，則M，N兩點間的距離的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出導函數f′（x），根據題意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³+1-x，x≥0，求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為M、N兩點間的最短距離．

解答 解：∵當x≥0時，f'（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²＞0，∴函數y=f（x）在[0，+∞）上單調遞增．
∵點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數f（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³和g（x）=x-1圖象上的點，
且x₁≥0，x₂＞0，若直線MN∥x軸，則f（x₁）=g（x₂），即f（x）=sinx₁+$\frac{1}{6}$x₁³=x₂-1，
則M，N兩點間的距離為x₂-x₁=sinx₁+$\frac{1}{6}$x₁³+1-x₁．
令h（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³+1-x，x≥0，則h′（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1，h″（x）=-sinx+x≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上單調遞增，故h′（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1≥h′（0）=0，
故h（x）在[0，+∞）上單調遞增，故h（x）的最小值為h（0）=1，
即M，N兩點間的距離的最小值為1，
故選：A．

點評 本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．