Question

16．設△ABC是邊長為4的正三角形，點P₁，P₂，P₃，四等分線段BC（如圖所示）
（1）P為邊BC上一動點，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的取值范圍？
（2）Q為線段AP₁上一點，若$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）以BC所在直線為x軸，AP₂所在直線為y軸，P₂為坐標原點，建立直角坐標系，求得A，B，C，P₁，的坐標，求得向量PA，PC的坐標，運用數量積的坐標表示，再由二次函數在閉區間上的值域求法可得；
（2）設Q（x，y），由A，Q，P₁共線，運用斜率相等，求得y關于x的式子，再分別求得向量AQ，AB，AC的坐標，得到m，x的方程組，即可解得m的值．

解答 解：（1）以BC所在直線為x軸，AP₂所在直線為y軸，
P₂為坐標原點，建立直角坐標系，
則A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），C（2，0），P₁（-1，0），
設P（t，0）（-2≤t≤2），則$\overrightarrow{PA}$=（-t，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（2-t，0），
可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=-t（2-t）+2$\sqrt{3}$•0=t²-2t=（t-1）²-1，（-2≤t≤2），
t=1時，取得最小值-1；t=-2時，取得最大值8．
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$的取值范圍為[-1，8]；
（2）設Q（x，y），由A，Q，P₁共線，
可得$\frac{y-2\sqrt{3}}{x}$=$\frac{2\sqrt{3}-0}{0+1}$，
即有y=2$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{AQ}$=（x，2$\sqrt{3}$x），$\overrightarrow{AB}$=（-2，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（2，-2$\sqrt{3}$），
若$\overrightarrow{AQ}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=-2m+\frac{1}{12}×2}\\{2\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}m+\frac{1}{12}×（-2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查平面向量數量積和平面向量基本定理的運用，注意運用坐標法是解題的關鍵，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．