Question

5．已知F₁、F₂ 是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）：的左、右焦點，點Q（-$\sqrt{2}$，1）在橢圓上，線段QF₂ 與y軸的交點M，且點M為QF₂ 中點
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C上一點，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，求△F₁PF₂ 的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)MM（0，y），結(jié)合M是線段QF₂ 的中點及Q的坐標求得F₂的坐標，得到c，再由Q在橢圓上列式可得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，可知△PF₁F₂為直角三角形，在焦點三角形中由橢圓定義及余弦定理聯(lián)立求得PF₁、PF₂的值，則△F₁PF₂ 的面積可求．

解答 解：（1）設(shè)M（0，y），∵M是線段QF₂ 的中點，
∴F₂（$\sqrt{2}，0$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，可知$P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}=8}\\{P{F}_{1}+P{F}_{2}=4}\end{array}\right.$，解得PF₁=PF₂=2．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}P{F}_{1}•P{F}_{2}=\frac{1}{2}×2×2=2$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及橢圓焦點三角形問題，常利用橢圓定義及余弦定理求解，是中檔題．