Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|+|x-$\frac{1}{x}$|．
（Ⅰ）判斷該函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）利用絕對值及分段函數(shù)知識，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)形式（不需過程），然后在給定的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象（不需列表）；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a-1，2]上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）分母不為0求出它的定義域，根據(jù)奇偶性的定義判斷f（x）是定義域上的偶函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)絕對值的定義用分段函數(shù)寫出f（x）的解析式并畫出圖象；
（Ⅲ） 由圖象結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 由函數(shù)f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|+|x-$\frac{1}{x}$|，得x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
且f（-x）=|（-x）+$\frac{1}{-x}$|+|（-x）-$\frac{1}{-x}$|=|x+$\frac{1}{x}$|+|x-$\frac{1}{x}$|=f（x）；
∴函數(shù)f（x）是定義域上的偶函數(shù)； …（4分）
（Ⅱ）令x-$\frac{1}{x}$=0，解得x=±1，
∴當(dāng)x≥1時，f（x）=（x+$\frac{1}{x}$）+（x-$\frac{1}{x}$）=2x，
0＜x＜1時，f（x）=（x+$\frac{1}{x}$）-（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{2}{x}$，
-1＜x＜0時，f（x）=-（x+$\frac{1}{x}$）+（x-$\frac{1}{x}$）=-$\frac{2}{x}$，
x≤-1時，f（x）=-（x+$\frac{1}{x}$）-（x-$\frac{1}{x}$）=-2x；
綜上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥1\\ \frac{2}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0＜x＜1\\-\frac{2}{x}\;\;\;\;\;\;-1＜x＜0\\-2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤-1\end{array}\right.$；…（6分）

畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示；…（8分）
（Ⅲ） 由圖象可知：f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，…（9分）
要使f（x）在[a-1，2]上單調(diào)遞增，只需1≤a-1＜2，…（11分）
解得2≤a＜3．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的定義域、奇偶性以及單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了分段函數(shù)以及函數(shù)圖象的應(yīng)用問題，是綜合性題目．