Question

17．如圖在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側面BB₁C₁C，BC=BC₁=$\sqrt{2}$，AB=CC₁=2，點E在棱BB₁上．
（Ⅰ）證明C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）試確定點E位置，使得二面角A-C₁E-C  的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出C₁B⊥BC，AB⊥BC₁，由此能證明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）以B為空間坐標系的原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-C₁E-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因為BC=$\sqrt{2}$，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{4}$，
在△BCC₁中，由余弦定理，得C₁B=$\sqrt{2}$，…（2分）
所以C₁B²+BC²=CC$\o（2，1）$，C₁B⊥BC．
又AB⊥側面BCC₁B₁，故AB⊥BC₁，
又CB∩AB=B，所以C₁B⊥平面ABC．  …（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC，BA，BC₁兩兩垂直，
以B為空間坐標系的原點，建立如圖所示的坐標系，
則B（0，0，0），A（0，2，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}A}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{{C}_{1}B}$+λ$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$λ，0，$\sqrt{2}$λ-$\sqrt{2}$），
設平面AC₁E的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}A}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y-\sqrt{2}z=0}\\{\sqrt{2}λx+（\sqrt{2}-\sqrt{2}λ）z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{2}$，取$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}（λ-1）}{λ}$，1，$\sqrt{2}$），…（9分）
又平面C₁EC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{2（λ-1）^{2}}{{λ}^{2}}+3}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
所以當λ=$\frac{1}{2}$時，二面角A-C₁E-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，注意向量法的合理運用．