Question

2．函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-4x+3}$
（1）求函數f（x）的單調區間和值域；
（2）若滿足x∈[0，3]，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=x²-4x+3，則y=（$\frac{1}{2}$）^t在R上遞減，運用復合函數的單調性：同增異減，求得二次函數的區間，即可得到所求單調區間和值域；
（2）由（1）的單調性可得f（x）在[0，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減，即有f（2）取得最大值，比較f（0）和f（3），可知最小值．

解答 解：（1）令t=x²-4x+3，
則y=（$\frac{1}{2}$）^t在R上遞減，
由t在（-∞，2）遞減，（2，+∞）遞增，
可得函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，2），
單調遞減區間為為（2，+∞），
當x=2時，函數數f（x）有最大值，
f（2）=2，且f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{x}^{2}-4x+3}$＞0，
故值域為（0，2]；
（2）由（1）知，函數f（x）在[0，2]上單調遞增，在[2，3]上單調遞減，
所以最大值為f（2）=2，
由f（0）=$\frac{1}{8}$，f（3）=1，所以最小值為$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查復合函數的單調區間和最值、值域的求法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．