Question

14．已知函數f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）在區間[-$\frac{3}{2}$，2]上的最大值為1，則a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據函數解析式，分類討論，確定函數對稱軸和定點，數形結合確定最大值點，建立等量關系求解a．

解答 解：a=0時，f（x）=-x-3，f（x）在[-$\frac{3}{2}$，2]上不能取得1，故a≠0．
故f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0），它的對稱軸方程為x₀=$\frac{1-2a}{2a}$，
①令f（-$\frac{3}{2}$）=1，解得a=-$\frac{10}{3}$，此時x₀=-$\frac{23}{20}$，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f（-$\frac{3}{2}$）=1不合適．
②令f（2）=1，解得a=$\frac{3}{4}$，此時x₀=-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{3}{2}$，2]．
因為a=$\frac{3}{4}$，x₀=-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{3}{2}$，2]且距右端2較遠，所以f（2）最大，滿足條件，合適．
③令f（x₀）=1，得a=$\frac{1}{2}$，經驗證a=$\frac{1}{2}$，滿足條件．
綜上，a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考察二次函數的性質，對于給出最值求參題目，一般要結合題中所給解析式大致確定函數圖象、分類討論來研究，解題的關鍵是找出對稱軸與區間的關系，屬于中檔題．