Question

4．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（5，-10），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（3，6），則$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 設出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐標，利用$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$列出方程，求出$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐標，再求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（5，-10），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=5}\\{{x}_{1}{-x}_{2}=3}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}{+y}_{2}=-10}\\{{y}_{1}{-y}_{2}=6}\end{array}\right.$，
解得x₁=4，x₂=1，y₁=-2，y₁=-8，
∴$\overrightarrow{a}$=（4，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，-8）；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值為：
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4×1+（-2）×（-8）}{\sqrt{{4}^{2}{+（-2）}^{2}}×\sqrt{{1}^{2}{+（-8）}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示以及求向量夾角的應用問題，是基礎題目