Question

若關于x的不等式x²-（a²+a）x+a³≥0對一切a∈[-2，

2

]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：二次函數f（x）=（x-a）（x-a²），①當a=a²，即 a=0，或 a=1，檢驗滿足條件．當②a＞a² 或③當a²＞a時，檢驗不滿足條件，從而得出結論．

解答： 解：二次函數f（x）=x²-（a²+a）x+a³=（x-a）（x-a²），
①當a=a²，即 a=0，或 a=1，
若a=0，則f（x）=x²≥0恒成立．
若a=1，f（x）=（x-1）²≥恒成立．
②a＞a²，即0＜a＜1時，關于x的不等式f（x）=（x-a）（x-a²）≥0的解集為
{x|x≤a²，或 x≥a }，不滿足在a∈[-2，

2

]上f（x）≥0恒成立．
③當a²＞a時，即a＜0，或a＞1時，關于x的不等式f（x）=（x-a）（x-a²）≥0的解集為
{x|x≤a，或 x≥a²}，不滿足在a∈[-2，

2

]上f（x）≥0恒成立．
綜上可得，a=0，或 a=1．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．