Question

已知圓C：（x+2）²+y²=4，過M（2，0）作直線L．
（1）若L和⊙C相切，求直線L的方程；
（2）若L和⊙C相交于A，B兩點，當△ACB面積最大時，求直線L的方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）設出直線方程的點斜式，化為一般式，由圓心到直線的距離等于半徑求出直線的斜率，則直線方程可求；
（2）設出直線方程，和圓的方程聯立，化為關于x的一元二次方程，設出交點A，B的坐標，由根與系數關系得到A，B的橫坐標的和與積，由弦長公式求出|AB|的長度，由點到直線的距離求出C到AB的距離，代入三角形的面積公式后配方，然后利用配方得到面積取最大值時的k值，則直線L的方程可求．

解答： 解：如圖，

（1）設過M（2，0）的切線方程為y-0=k（x-2），即kx-y-2k=0，
由直線和圓：（x+2）²+y²=4相切，則圓心（-2，0）到直線kx-y-2k=0的距離等于圓的半徑，
即

|-2k-2k|

k2+1

=2，解得：k=±

3

3

．
當k=-

3

3

時，切線方程為：x+

3

y-2=0．
當k=

3

3

時，切線方程為：x-

3

y-2=0；
（2）聯立

y=kx-2k (x+2)2+y2=4

，得（1+k²）x²+（4-4k²）x+4k²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2-4

1+k2

，x1x2=

4k2

1+k2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 4k2-4 1+k2 )2-4• 4k2 1+k2

=

4

1+k2

•

1-3k2

，
C到AB的距離為：d=

|-2k-2k|

1+k2

=

4|k|

1+k2

．
∴S△ABC=

1

2

•

4

1+k2

•

1-3k2

•

4|k|

1+k2

=8

- 7 (1+k2)2 + 7 1+k2 -3

．
當

1

1+k2

=

1

2

，即k=±1時面積有最大值，
代入△=（4-4k²）²-16k²（1+k²）＞0成立．
∴所求的直線方程為：y=x-2或y=-x+2．

點評：本題考查了圓的切線方程，考查了直線和圓的位置關系，訓練了弦長公式的用法，考查了利用基本不等式求最值，考查了學生的計算能力，是高考試卷中的壓軸題．