Question

16．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（Ⅰ）以原點為極點、x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）已知A（-2，0），B（0，2），圓C上任意一點M（x，y），求△ABM面積的最大值并寫出此時點M的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函數的關系消元得到圓C的方程，將直線l的參數方程左側展開，利用極坐標與直角坐標的對應關系得出直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）先求點M（x，y）到直線AB：x-y+2=0的距離為d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，再求△ABM的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cos$θ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}$sin$（\frac{π}{4}-θ）$+9|，然后求最值．

解答 解：（1）圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
所以普通方程為（x-3）²+（y+4）²=4．
∴圓C的極坐標方程：ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）點M（x，y）到直線AB：x-y+2=0的距離為d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+9|}{\sqrt{2}}$，
△ABM的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=|2cos$θ-2sinθ+9|=|2\sqrt{2}$sin$（\frac{π}{4}-θ）$+9|
所以△ABM面積的最大值為9+2$\sqrt{2}$，此時點M為（3+$\sqrt{2}$，-4-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的轉化，屬于基礎題．