Question

7．清華大學(xué)自主招生考試題中要求考生從A，B，C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示共有600名學(xué)生參加測試，選擇A，B，C三題答卷數(shù)如下表：

題	A	B	C
答卷數(shù)	180	300	120

（Ⅰ）負責(zé)招生的教授為了解參加測試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份答案中抽出若干份答卷，其中從選擇A題作答的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）測試后的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，A題的答卷得優(yōu)的有60份，若以頻率作為概率，在（Ⅰ）問中被抽出的選擇A題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）設(shè)應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出x，y份，由分層抽樣的方法列出方程$\frac{3}{180}=\frac{x}{300}=\frac{y}{120}$，由此能求出結(jié)果．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{3}$）．由此有求出X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出x，y份，
∵用分層抽樣的方法從600份答案中抽出若干份答卷，其中從選擇A題作答的答卷中抽出了3份，
∴$\frac{3}{180}=\frac{x}{300}=\frac{y}{120}$，
解得x=5，y=2．
∴應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出5份，2份．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{3}$）．
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{0}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{9}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）^{0}$=$\frac{1}{27}$，
∴X的分布列為：

I	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

所以E（X）=$0×\frac{8}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{27}$=1．

點評 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．