Question

14．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．
（1）求證：平面AD₁E⊥平面A₁D₁E；
（2）求二面角E-AC₁-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導出EA₁⊥AE，A₁D₁⊥AE，從而AE⊥平面A₁D₁E，由此能證明平面AD₁E⊥平面A₁D₁E；
（2）在平面B₁BCC₁內過點E作EF⊥BC₁于F，過F作FG⊥AC₁于G，連接EG，則∠EGF就是二面角E-AC₁-B的平面角，由此能求出二面角E-AC₁-B的平面角的正切值．

解答 證明：（1）如圖，在矩形ABB₁A₁中，E為BB₁中點，且AA₁=2，AB=1，
所以AE=A₁E=$\sqrt{2}$，所以△A₁AE為等腰直角三角形，
EA₁⊥AE，…（2分）
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
因為底面是邊長為1的正方形，
所以A₁D₁⊥平面A₁ABB₁．
又因為AE?平面A₁ABB₁，
所以A₁D₁⊥AE，所以AE⊥平面A₁D₁E，…（4分）
又因為AE?平面AD₁E，所以平面AD₁E⊥平面A₁D₁E．…（6分）
解：（2）因為AB⊥平面B₁BCC₁，所以平面ABC₁⊥平面B₁BCC₁，
所以只需在平面B₁BCC₁內過點E作EF⊥BC₁于F，而EF⊥平面ABC₁．
如圖，過F作FG⊥AC₁于G，連接EG，
則∠EGF就是二面角E-AC₁-B的平面角…（8分）
在△EBC₁中，EF=$\frac{2{S}_{△EB{C}_{1}}}{B{C}_{1}}$=$\frac{EB•{C}_{1}{B}_{1}}{B{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以C₁F=$\sqrt{{C}_{1}{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
在△ABC₁中，FG=C₁F•sin∠FC₁G=${C}_{1}F•\frac{AB}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，…（10分）
在Rt△EFG中，tan$∠EGF=\frac{EF}{FG}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
所以二面角E-AC₁-B的平面角的正切值大小為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．