Question

2．已知F₁，（-1，0），F₂（1，0）為平面內的兩個定點，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，記點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）設點O為坐標原點，點A，B，C是曲線Γ上的不同三點，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結論．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的定義可知：點P的軌跡是以F₁（-1，0）F₂（1，0）為焦點的橢圓．可得橢圓方程為x²+2y²=2，
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于點A，B在橢圓上，可得x12+2y12=2，x22+2y22=2，由“點差法”即可．

解答 解法一：（Ⅰ）由條件可知，點P到兩定點F₁（-1，0），F₂（-1，0）的距離之和為定值2$\sqrt{2}$，
所以點P的軌跡是以F₁（-1，0），F₂（-1，0）為焦點的橢圓，．…（2分）
又a=$\sqrt{2}$，c=1，所以b=1，
故所求方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
設直線AB的方程為y=kx+n  （k≠0），
代入x²+2y²=2并整理得，（1+2k²）x²+4nkx+2n²-2=0，
依題意，△＞0，則 x₁+x₂=$\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}$，y1+y2=k（x₁+x₂）+2n=$\frac{2n}{1+2{k}^{2}}$，
從而可得點C的坐標為（$\frac{4kn}{1+2{k}^{2}}，\frac{2n}{1+2{k}^{2}}）$，k_OC=-$\frac{1}{2k}$．
因為k_AB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，所以直線AB與OC的斜率之積為定值．…（8分）
解法二設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，得x₁+x₂+x₃=0，y₁+y₂+y₃=0．…（5分）
（ⅰ）因為點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，
所以有：x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2
兩式相減，得（x₁+x_2^）（x₁-x_2^）+2（y₁+y_2^）（y₁-y_2^）=0，
從而有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1+}{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$．
又y₁+y₂=-y₃，k_OC=$\frac{{Y}_{3}}{{x}_{3}}$，
因為k_AB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，所以直線AB與OC的斜率之積為定值．…（8分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、斜率計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．