Question

11．S（1，1）是拋物線L：y²=2px（p＞0）上一點，以S為圓心，r為半徑的圓，與x軸正半軸相交于A，B兩點，連結并延長SA，SB，分別交橢圓L于C，D兩點（如圖所示）．
（1）求p的值及r的取值范圍；
（2）求證：直線CD的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）求出p=$\frac{1}{2}$，關于x的方程（x-1）²=r²-1有兩個不等的正數解，由此能出r的取值范圍．
（2）SA，SB存在不為0的斜率，且兩個斜率互為相反數，設直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），（y₁≠1），由直線SA的方程與拋物線L的方程聯立，得（ky-1+k）（y-1）=0，從而C（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}-1$），同理得D（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}-1$），由此能證明直線CD的斜率為定值．

解答 解：（1）∵S（1，1）在拋物線L：y²=2px（p＞0）上，
∴1²=2p×1，解得p=$\frac{1}{2}$，
∵圓S：（x-1）²+（y-1）²=r²，（r＞0）與x軸正半軸相交于A，B兩點，
∴關于x的方程（x-1）²+1=r²，（r＞0），即（x-1）²=r²-1有兩個不等的正數解，
∴r＞0，r²-1＞0，1-$\sqrt{{r}^{2}-1}$＞0，即1＜r＜$\sqrt{2}$．
∴r的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）．
證明：（2）由|SA|=|SB|=r，A，B是不同的兩點，知SA，SB存在不為0的斜率，
且兩個斜率互為相反數，
設直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），（y₁≠1），
由直線SA的方程與拋物線L的方程聯立：$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，
得ky²-y+1-k=0，即（ky-1+k）（y-1）=0，
∴${y}_{1}=\frac{1}{k}-1$，C（$\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}-1$），
同理得D（$\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$，-$\frac{1}{k}-1$），
∴直線CD的斜率k_CD=$\frac{\frac{1}{k}-1+\frac{1}{k}+1}{\frac{（1-k）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（1+k）^{2}}{{k}^{2}}}$=$\frac{2k}{（1-k）^{2}-（1+k）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴直線CD的斜率為定值-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查實數值及取值范圍的求法，考查直線的斜率為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意拋物線、直線方程的性質的合理運用．