Question

4．已知橢圓：C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過C₁的左焦點F₁的直線l：x-y+2=0被圓C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設C₁的右焦點為F₂，在圓C₂上是否存在點P，滿足|PF1|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 第（1）問，由a²=b²+c²，e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，及F₁的坐標滿足直線l的方程，聯立此三個方程，即得a²，b²，從而得橢圓方程；
第（2）問，根據弦長，利用垂徑定理與勾股定理得方程，可求得圓的半徑r，從而確定圓的方程，再由條件|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，將點P滿足的關系式列出，通過此關系式與已知圓C₂的方程聯系，再探求點P的存在性．

解答 解：在直線l的方程x-y+2=0中，令y=0，得x=-2，即得F₁（-2，0），
∴c=2，又∵離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a²=6，b²=a²-c²=2，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）∵圓心C₂（3，3）到直線l：x-y+2=0的距離為d=$\frac{|3-3+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又直線l被圓C₂截得的弦長為2$\sqrt{2}$，
∴由垂徑定理得r=$\sqrt{p9vv5xb5^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
故圓C₂的方程為C₂：（x-3）²+（y-3）²=4．
設圓C₂上存在點P（x，y），滿足|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，即|PF₁|=3|PF₂|．
∵F₁（-2，0），F₂（2，0），
則$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$
此方程表示圓心在點（$\frac{5}{2}$，0），半徑$\frac{3}{2}$是的圓，
∴|CC₂|=$\sqrt{（3-\frac{5}{2}）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$，
故有2-$\frac{3}{2}$＜|CC₂|＜2+$\frac{3}{2}$，即兩圓相交，有兩個公共點．
∴圓C₂上存在兩個不同點P，滿足|PF₁|=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$|PF₂|，

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與圓的位置關系，以及圓與圓的位置關系，弦長計算，屬于中檔題