Question

8．某同學報名參加“瘋狂的麥咭”的選拔．已知在備選的10道試題中，該同學能答對其中的6題，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試（必須3題全部答完），至少答對2題才能入選．
（Ⅰ）求該同學答對試題數ξ的概率分布列及數學期望；
（Ⅱ）設η為該同學答對試題數與該同學答錯試題數之差的平方，記“函數$f（x）=|η-\frac{1}{2}{|^x}$在定義域內單調遞增”為事件C，求事件C的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）ξ的取值為0，1，2，3，然后利用等可能事件的概率公式分別求出相應的概率公式，列出分布列，最后根據數學期望的公式解之即可；
（Ⅱ）η的可能取值為1，9，結合“函數$f（x）=|η-\frac{1}{2}{|^x}$在定義域內單調遞增”為事件C，可得：η=9，根據互斥事件概率加法公式，可得答案．

解答 （本大題滿分12分）
解：（Ⅰ）依題意，答對試題數ξ的可能取值為0，1，2，3…（1分）
則$P（ξ=0）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$，
$P（ξ=1）=\frac{C_6^1•C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_6^2•C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$…（5分）
其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

…（6分）
答對試題數ξ的數學期望：$Eξ=0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}=\frac{9}{5}$…（8分）
（Ⅱ）η的可能取值為1，9…（9分）
當η=1時，$f（x）=|η-\frac{1}{2}{|^x}={（\frac{1}{2}）^x}$在定義域內是減函數．
當η=9時，$f（x）=|η-\frac{1}{2}{|^x}={（\frac{17}{2}）^x}$在定義域內是增函數…（10分）
其中 η=9分別是答對題數為0和3的情形，
兩事件為互斥事件$P（C）=P（ξ=0）+P（ξ=3）=\frac{1}{30}+\frac{1}{6}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$…（12分）

點評 本題主要考查了離散型隨機變量的數學期望及其分布列，以及互斥事件概率加法公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．