Question

已知函數f（x）=

bx-a

ax

（a＞0，x＞0）的圖象過點（a，0）．
（1）判斷函數f（x）在（0．+∞）上的單調并用函數單調性定義加以證明；
（2）若a＞

1

5

函數f（x）在[

1

5a

，5a]上的值域是[

1

5a

，5a]，求實數a的值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）代入點的坐標，求得f（x），再由單調性的定義，即可證得f（x）在（0．+∞）上為增函數；
（2）由函數的單調性，即可得到最值，解方程，即可求得a．

解答： 解：（1）函數f（x）=

bx-a

ax

（a＞0，x＞0）的圖象過點（a，0），
則0=

ab-a

ab

，則b=1，則f（x）=

x-a

ax

=

1

a

-

1

x

，
f（x）在（0．+∞）上為增函數，
理由如下：設0＜m＜n，則f（m）-f（n）=

1

a

-

1

m

-（

1

a

-

1

n

）
=

m-n

mn

，由于0＜m＜n，則m-n＜0，mn＞0，則f（m）-f（n）＜0，
則f（x）在（0．+∞）上為增函數；
（2）由于f（x）在（0．+∞）上為增函數，
則函數f（x）在[

1

5a

，5a]上的值域是[f（

1

5a

），f（？5a）]，
即有

1 a -5a= 1 5a 1 a - 1 5a =5a

，解得，a=

2

5

．

點評：本題考查函數的單調性的判斷和運用，考查運算能力，屬于基礎題．