Question

已知函數f（x）=

x+m-1

2-x

，且f（1）=1
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數y=f（x）在你區間（-∞，m-1]上的單調性，并用函數單調性的定義證明
（3）求實數k的取值范圍，使得關于x的方程f（x）=kx分別為：①有且僅有一個實數解②有兩個不同的實數解．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）f（1）=1帶入函數f（x）即可求得m=1；
（2）f（x）=

x

2-x

=-1+

2

2-x

，通過解析式即可看出，在（-∞，0]上，x增大時，f（x）會增大，所以是增函數．根據增函數定義，設x₁＜x₂≤0，通過作差比較f（x₁），f（x₂）的大小即可；
（3）帶入f（x），將方程f（x）=kx可變成：kx²+（1-2k）x=0，x≠2，討論k的取值解出該方程，然后讓該方程分別有且僅有一個實數解，和有兩個不同實數解時，求k的取值即可，也就得出了對應k的取值范圍．

解答： 解：（1）f（1）=

m

1

=1；
∴m=1；
（2）f（x）=

x

2-x

=-1+

2

2-x

；
∴可以看出f（x）在（-∞，0]上單調遞增，下面給出證明：
設x₁＜x₂≤0，則：
f（x₁）-f（x₂）=

2

2-x1

-

2

2-x2

=

2(x1-x2)

(2-x1)(2-x2)

；
∵x₁＜x₂≤0；
∴2-x₁＞0，2-x₂＞0，x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數f（x）在（-∞，0]上單調遞增；
（3）由f（x）=kx得：

x

2-x

=kx；
∴得到方程：kx²+（1-2k）x=0，x≠2；
k=0時，該方程的解為x=0，只有一個實數解；
k≠0時，解該方程得，x=0，或

2k-1

k

；
∴①原方程有且僅有一個實數解時：
k=0，或

2k-1

k

=0；
∴k=0，或

1

2

；
∴k的取值范圍為{k|k=0，或

1

2

}；
②原方程有兩個不同實數解時：

k≠0 2k-1 k ≠0 2k-1 k ≠2

；
∴k≠0，

1

2

，

3

2

；
∴k的取值范圍為{k|k≠0，

1

2

，

3

2

}．

點評：考查會已知函數解析式求函數值，將分式方程轉化為整式方程的方法，以及解一元二次方程，對于第三問不要漏了對x的限制x≠2．