Question

為了保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，已知該單位每月處理量最小為400噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可近似的表示為：，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工立品價值為100元．

（1）該單位月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利?如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少要補貼多少元才能使該單位不虧損？

 

Answer 1

（1）時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為元．；

（2）需要國家每月至少補貼元，才能不虧損．

【解析】

試題分析：（1）由題設條件寫出每噸的處理成本隨月處理量變化的函數關系式，再由基本不等式法求函數的最值及確定取得最值的條件;

（2）將每月的獲利:月收入-月處理成本，表示成月處理量的函數，根據二次函數的性質求出函數的最大值，進一步確定國家補貼數額．

試題解析：【解析】
（1）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

，

當且僅當，即時，

才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為元．

（2）設該單位每月獲利為,

則

，

因為，所以當時，有最大值．

故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼元，才能不虧損．

考點：1、函數的思想在生產生活實踐中的應用；2、基本不等式的應用；3、二次函數的值域．