Question

【題目】 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）見解析；（III）.

【解析】

（I）連接，結合平行四邊形的性質，以及三角形中位線的性質，得到，利用線面平行的判定定理證得結果；

（II）取棱的中點，連接，依題意，得，結合面面垂直的性質以及線面垂直的性質得到，利用線面垂直的判定定理證得結果；

（III）利用線面角的平面角的定義得到為直線與平面所成的角，放在直角三角形中求得結果.

（I）證明：連接，易知，，

又由，故，

又因為平面，平面，

所以平面.

（II）證明：取棱的中點，連接，依題意，得，

又因為平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，故，

又已知，，

所以平面.

（III）解：連接，由（II）中平面，

可知為直線與平面所成的角.

因為為等邊三角形，且為的中點，

所以，又，

在中，，

所以，直線與平面所成角的正弦值為.