Question

【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）

（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行最多，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：

年流入量
發電機最多可運行臺數	1	2	3

若某臺發電機運行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

Answer 1

【答案】（1）；（2）2臺.

【解析】

（1）求出，，，由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．

（2）記水電站的總利潤為（單位，萬元），求出安裝1臺發電機、安裝2臺發電機、安裝3臺發電機時的分布列和數學期望，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機的臺數．

解：（1）依題意，，

，

，

由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：

．

（2）記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）

安裝1臺發電機的情形：

由于水庫年入流總量大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤，，

安裝2臺發電機的情形：

依題意，當時，一臺發電機運行，此時，

因此，

當時，兩臺發電機運行，此時，因此，，

由此得Y的分布列如下

Y	3400	8000
P	0.2	0.8

所以．

安裝3臺發電機的情形：

依題意，當時，一臺發電機運行，此時，

因此，

當時，兩臺發電機運行，此時，因此，，

當時，三臺發電機運行，此時，因此，，

由此得Y的分布列如下

Y	2800	7400	12000
P	0.2	0.7	0.1

所以．

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺．