Question

5．過橢圓$\frac{{y}^{2}}{9}$+x²=1內(nèi)的一點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的弦，恰好被點P平分，則這條弦所在的直線方程為（　　）

• A． 9x-y-4=0
• B． x+y+5=0
• C． 2x+y-2=0
• D． 9x+y-5=0

Answer 1

分析 設過點P的弦與橢圓交于A，B兩點，并設出他們的坐標，代入橢圓方程聯(lián)立，兩式相減，根據(jù)中點P的坐標可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進而求得直線AB的斜率，根據(jù)點斜式即可求得直線的方程．

解答 解：設這條弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率為k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{9}+{x}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{9}+{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減可得：$\frac{{（y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$+（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
由中點坐標公式可得：x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
∴y₁-y₂=-9（x₁-x₂），
由k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-9，
∴弦所在的直線方程y-$\frac{1}{2}$=-9（x-$\frac{1}{2}$），整理得：9x+y-5=0，
故選：D．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關系，考查弦長的中點坐標公式，考查“點差法”應用，直線的點斜式方程，考查計算能力，屬于中檔題．